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1、證法5(歐幾里得的證法)　　《幾何原本》中的證明 　　在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立.設△ABC為一直角三角形,其中A為直角.從A點劃一直線至對邊,使其垂直于對邊上的正方形.此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個正方形相等.　　在正式的證明中,我們需要四個輔助定理如下：　　如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等.（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半.任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積.任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據輔助定理3）.證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形,再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形.　　其證明如下：　　設△ABC為一直角三角形,其直角為CAB.其邊為BC、AB、和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH.畫出過點A之BD、CE的平行線.此線將分別與BC和DE直角相交于K、L.分別連接CF、AD,形成兩個三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是線性對應的,同理可證B、A和H.∠CBD和∠FBA皆為直角,所以∠ABD等于∠FBC.因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC,所以△ABD 必須相等于△FBC.因為 A 與 K 和 L是線性對應的,所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD.因為C、A和G有共同線性,所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC.因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2.同理可證,四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2.把這兩個結果相加,AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC .由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2.此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。

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